Question

10．設A，B為拋物線y²=2px（p＞0）上不同的兩點，0為坐標原點，且OA丄OB，則△OAB面積的最小值為4p²．

Answer 1

分析 先設直線的方程為斜截式（有斜率時），代入拋物線，利用OA⊥OB找到k，b的關系，然后利用弦長公式將面積最后表示成k的函數，然后求其最值即可．最后求出沒斜率時的直線進行比較得最終結果．

解答 解：當直線斜率存在時，設直線方程為y=kx+b．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$消去y得k²x²+（2kb-2p）x+b²=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由題意得△=（2kb-2p）²-4k²b²＞0，即kb＜$\frac{p}{2}$．
${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2p-2kb}{{k}^{2}}，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{^{2}}{{k}^{2}}$，
所以${y}_{1}{y}_{2}={k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}+kb（{x}_{1}+{x}_{2}）+^{2}$=$\frac{2bp}{k}$．
所以由OA⊥OB得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}={x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=\frac{^{2}}{{k}^{2}}+\frac{2pbk}{{k}^{2}}=0$
所以b=-2pk，①代入直線方程得y=kx-2pk=k（x-2p），
所以直線l過定點（2p，0）．
再設直線l方程為x=my+2p，代入y²=2px得y²-2pmy-4p²=0，
所以y₁+y₂=2pm，y₁y₂=-4p²，所以$|{y}_{1}-{y}_{2}|=\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{4{m}^{2}{p}^{2}+16{p}^{2}}=\sqrt{（4{m}^{2}+16）{p}^{2}}$=$\sqrt{4{m}^{2}+16}p$，
所以S=$\frac{1}{2}×2{p}^{2}×\sqrt{4{m}^{2}+16}$，
所以當m=0時，S的最小值為4p²．
故答案為：4p²．

點評 本題考查了直線和圓錐曲線的位置關系中的弦長問題中的最值問題，一般先結合韋達定理將要求最值的量表示出來，然后利用函數思想或基本不等式求最值即可．