Question

【題目】已知雙曲線：的左、右焦點(diǎn)分別是、，左、右兩頂點(diǎn)分別是、，弦AB和CD所在直線分別平行于x軸與y軸，線段BA的延長線與線段CD相交于點(diǎn)如圖)．

⑴若是的一條漸近線的一個(gè)方向向量，試求的兩漸近線的夾角；

⑵若，，，，試求雙曲線的方程；

⑶在⑴的條件下，且，點(diǎn)C與雙曲線的頂點(diǎn)不重合，直線和直線與直線l：分別相交于點(diǎn)M和N，試問：以線段MN為直徑的圓是否恒經(jīng)過定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，試說明理由．

Answer 1

【答案】⑴ ⑵ ⑶圓過x軸上兩個(gè)定點(diǎn)和

【解析】

⑴ 可得，從而，，即

⑵ 求得即，從而得，代入雙曲線方程知：即可；

⑶ 可得的方程為：，求得，，

令，所以，

以MN為直徑的圓的方程為：，

于是，

即可得圓過x軸上兩個(gè)定點(diǎn)．

解：⑴ 雙曲線的漸近線方程為：

即，所以，

從而，，

所以

⑵ 設(shè)，則由條件知：，，即

所以，，

代入雙曲線方程知：

雙曲線的方程：

⑶ 因?yàn)?/span>，所以，由⑴知，，所以的方程為：，

令，所以，，令，所以，，令，所以，

故以MN為直徑的圓的方程為：，

即，

即，

若以MN為直徑的圓恒經(jīng)過定點(diǎn)

于是

所以圓過x軸上兩個(gè)定點(diǎn)和