Question

11．如圖，CD是圓O的切線，切點為D，CA是過圓心的割線且交圓O于B點，過B作⊙O的切線交CD于點E，DE=$\frac{1}{2}$EC．求證：
（1）CA=3CB；
（2）CA=$\sqrt{3}$CD．

Answer 1

分析 （1）由切割線定理可得CD²=CA•CB，連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)及切線長定理可得OD⊥CD，BE=ED，結(jié)合已知中DE=$\frac{1}{2}$EC，易得∠C=30°，進而可得CA=3CB；
（2）將CA=3CB代入CD²=CA•CB，化簡可得：CA=$\sqrt{3}$CD．

解答 證明：（1）∵CD是圓O的切線，
∴CD²=CA•CB，
連結(jié)OD，則OD⊥CD，

∵BE是圓O的切線，
∴BE=ED，
又$DE=\frac{1}{2}EC$，
∴$BE=\frac{1}{2}EC$，
∴∠C=30°，
則$OD=\frac{1}{2}OC$，
而OB=OD，
∴CB=BO=OD=OA，
∴CA=3CB，…（5分）
（2）將CA=3CB代入CD²=CA•CB得$C{D^2}=CA•\frac{1}{3}CA$，
故$CA=\sqrt{3}CD$．…（10分）

點評 本題考查的知識點是切割線定理，切線長定理，切線的性質(zhì)，是與圓有關(guān)比例線段的綜合應(yīng)用，難度中檔．