Question

9．已知f（x）是周期為4的奇函數(shù)，x∈[0，2]時，f（x）=$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$．若方程f（x）-tx=0恰好有5個實根，則正實數(shù)t等于（　�。�

• A． $\frac{1}{5}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{12}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{6}$

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系求出函數(shù)的解析式，利用函數(shù)與方程的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：若x∈[-2，0]，則-x∈[0，2]，
則f（-x）=$\sqrt{1-（-x-1）^{2}}$，
∵f（x）是周期為4的奇函數(shù)，
∴f（-x）=$\sqrt{1-（-x-1）^{2}}$=-f（x）
即f（x）=-$\sqrt{1-（x+1）^{2}}$，x∈[-2，0]，
由f（x）-tx=0得f（x）=tx，
作出函數(shù)f（x）與g（x）=tx的圖象如圖：
要使方程f（x）-tx=0恰好有5個實根，
則只需要當(dāng)x＞0時f（x）與g（x）有兩個交點，
即當(dāng)x∈[4，6]時，g（x）與f（x）相切，即可．
當(dāng)當(dāng)x∈[4，6]時，當(dāng)x-4∈[0，2]，
則f（x）=f（x-4）=$\sqrt{1-（x-4-1）^{2}}$=$\sqrt{1-（x-5）^{2}}$，此時圓心為（5，0），半徑R=1，
則圓心到直線tx-y=0的距離d=$\frac{5t}{\sqrt{{t}^{2}+1}}$=1，
得t=$\frac{\sqrt{6}}{12}$，
故選：B．

點評 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用函數(shù)奇偶性和周期性的關(guān)系求出函數(shù)的解析式，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點問題是解決本題的關(guān)鍵．