Question

14．有下列命題：
（1）$\sqrt{3}$$+\sqrt{7}$＜2+$\sqrt{6}$；
（2）若a≥b＞0，n∈N^*，且n≥2，則有$\root{n}{a}$≥$\root{n}$；
（3）1+3+5+…+（2n-1）=n²（n∈N^*）；
（4）nⁿ⁺¹＞（n+1）ⁿ對(duì)-切n∈N^*且n≥3恒成立．
以上命題適合使用數(shù)學(xué)歸納法證明的序號(hào)是（3）．

Answer 1

分析 數(shù)學(xué)歸納法是一種數(shù)學(xué)證明方法，典型地用于確定一個(gè)表達(dá)式在所有自然數(shù)范圍內(nèi)是成立的或者用于確定一個(gè)其他的形式在一個(gè)無窮序列是成立的，故可以判斷．

解答 解：對(duì)于（3）適合用數(shù)學(xué)歸納法，
①當(dāng)n=1時(shí)，左邊=1，右邊=1，
∴左邊=右邊
②假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即1+3+5+…+（2k-1）=k²
當(dāng)n=k+1時(shí)，等式左邊=1+3+5+…+（2k-1）+（2k+1）=k²+（2k+1）=（k+1）²．
綜上①②可知1+3+5+…+（2n-1）=n²對(duì)于任意的正整數(shù)成立，
故答案為：（3）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)學(xué)歸納法，用數(shù)學(xué)歸納法證明問題的步驟是：第一步驗(yàn)證當(dāng)n=n₀時(shí)命題成立，第二步假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)命題成立，那么再證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．本題解題的關(guān)鍵是利用第二步假設(shè)中結(jié)論證明當(dāng)n=k+1時(shí)成立，本題是一個(gè)中檔題目．