Question

7．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{-{x^2}+4x+5}$，求其單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 $f（x）=\sqrt{-{x}^{2}+4x+5}$可看作是由y=$\sqrt{t}$，t=-x²+4x+5復(fù)合而成的，因為y=$\sqrt{t}$單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定知只需在定義域內(nèi)求出t=-x²+4x+5的增區(qū)間即可

解答 解：由-x²+4x+5≥0，解得-1≤x≤5．
所以函數(shù)f（x）的定義域為[-1，5]．
$f（x）=\sqrt{-{x}^{2}+4x+5}$可看作是由y=$\sqrt{t}$，t=-x²+4x+5復(fù)合而成的，
y=$\sqrt{t}$的單調(diào)遞增區(qū)間為[0，+∞），t=-x²+4x+5=-（x-2）²+9的單調(diào)遞增區(qū)間是[-1，2]，
由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定方法知，
函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[-1，2]．

點評 本題考查復(fù)合函數(shù)單調(diào)性、冪函數(shù)及二次函數(shù)單調(diào)性問題，屬基礎(chǔ)題．