Question

18．在圓x²+y²+4x+3=0的所有切線中，求在坐標軸上截距相等的切線方程．

Answer 1

分析 求出圓的標準方程，討論直線是否過原點，利用待定系數(shù)法進行求解即可．

解答 解：圓的標準方程為（x+2）²+y²=1，
則圓心坐標為C（-2，0），半徑R=1，
若切線過原點，滿足在坐標軸上截距相等，
此時設切線方程為y=kx，即kx-y=0，
則圓心到直線的距離d=$\frac{|-2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}=1$，
即4k²=1+k²，即k²=$\frac{1}{3}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$．此時切線方程為y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x．
若切線不過原點，則設切線方程為x+y=a，
則圓心到直線的距離d=$\frac{|-2-a|}{\sqrt{2}}=1$，
即|a+2|=$\sqrt{2}$，即a=-2±$\sqrt{2}$，
此時切線方程為x+y+2±$\sqrt{2}$=0．
綜上滿足條件的切線方程為：$x+y+2±\sqrt{2}=0，x±\sqrt{3}y=0$

點評 本題主要考查直線和圓相切的位置關系的應用，根據(jù)直線截距相同，利用待定系數(shù)法是解決本題的關鍵．