Question

14．已知a，b，c分別為△ABC三個內(nèi)角的對邊，且a+b=$\sqrt{3}csinA+ccosA$．
（I）求角C；
（Ⅱ）如圖，設(shè)D為BC的中點，且AD=2，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析 （I）由正弦定理及三角函數(shù)恒等變換化簡已知等式可得sin（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，又結(jié)合C∈（0，π），即可求得角C的值；
（Ⅱ）由余弦定理結(jié)合已知可得$\frac{ab}{2}≤4$，又由三角形面積公式可得S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab•sinC=2$\sqrt{3}$．從而解得△ABC面積的最大值．

解答 解：（I）由正弦定理可得：sinA+sinB=$\sqrt{3}$sinCsinA+sinCcosA，又A+B+C=π，
∴sinA+sin（A+C）=$\sqrt{3}$sinCsinA+sinCcosA…3分
整理可得：1+cosC=$\sqrt{3}$sinC，
即：$\sqrt{3}$sinC-cosC=1，
有：sin（C-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，…6分
又C∈（0，π），
∴C-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴C-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
∴C=$\frac{π}{3}$．…7分
（Ⅱ）如圖，由余弦定理可得：AD²=CA²+CD²+2CA•CD•cosC=CA²+CD²-CA•CD=b²+$\frac{{a}^{2}}{4}$-$\frac{ab}{2}$=ab$-\frac{ab}{2}$=$\frac{ab}{2}$，…10分
∴$\frac{ab}{2}≤4$，…11分
又S_△ABC=$\frac{1}{2}$ab•sinC=2$\sqrt{3}$．
∴△ABC面積的最大值是2$\sqrt{3}$．…12分

點評 本題主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基本知識的考查．