Question

19．在△ABC中，A=$\frac{π}{3}$，BC=3，D是BC的一個(gè)三等分點(diǎn)，則AD的最大值是1+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理得到三角形的外接圓的半徑，即可求出AD的最大值．

解答 解：如圖建立坐標(biāo)系，
∴△ABC的外接圓滿足2R=$\frac{3}{sin60°}$，
∴R=$\sqrt{3}$，
∵若AD取最大值，
∴A，M，D在同一直線上，
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
∵M(jìn)B=MC，
∴（x+$\frac{3}{2}$）²+y²=y²+（x-$\frac{3}{2}$）²=3，
解得x=0，y=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴△ABC的外接圓的圓心M（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵D（-$\frac{1}{2}$，0）
∴|AD|_max=|MD|+R=$\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}}$+$\sqrt{3}$=1+$\sqrt{3}$，
故答案為：1+$\sqrt{3}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理和圓的方程的應(yīng)用，屬于中檔題