Question

（本小題滿分13分）已知函數(shù)和的圖象有公共點(diǎn)P，且在點(diǎn)P處的切線相同.

（Ⅰ）若點(diǎn)P的坐標(biāo)為，求的值；

（Ⅱ）已知，求切點(diǎn)P的坐標(biāo).

Answer 1

（Ⅰ），; （Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意，得，且，， 由已知，得，即，解方程，即可求出結(jié)果.（Ⅱ）若，則，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，其中,由題意，得 ①，②，由②，得，其中，代入①，得 （*），因?yàn)?，且，所以 .設(shè)函數(shù) ，，

則 ，令 ，解得或(舍). 列出當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況表，解方程即可求出切點(diǎn)P的坐標(biāo).

試題解析：（Ⅰ）【解析】
由題意，得， 1分

且，， 3分

由已知，得，即，

解得，. 5分

（Ⅱ）【解析】
若，則，，

設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為 ，其中,

由題意，得 ， ①

， ② 6分

由②，得 ，其中，

代入①，得 . （*） 7分

因?yàn)?，且，

所以 . 8分

設(shè)函數(shù) ，，

則 . 9分

令 ，解得或(舍). 10分

當(dāng)變化時(shí)，與的變化情況如下表所示，

		1
		0
	↗		↘

12分

所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，且當(dāng)時(shí).

因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí).

所以方程（*）有且僅有一解.

于是 ，

因此切點(diǎn)P的坐標(biāo)為. 13分.

考點(diǎn)：1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2.導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性上的應(yīng)用.