Question

18．已知函數(shù)f（x）=xln（x-1）-a，下列說法正確的是（　�。�

• A． 當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）有零點(diǎn)x₀，且x₀∈（1，2）
• B． 當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）有零點(diǎn)x₀，且x₀∈（2，+∞）
• C． 當(dāng)a=0時(shí)，f（x）沒有零點(diǎn)
• D． 當(dāng)a＜0時(shí)，f（x）有零點(diǎn)x₀，且x₀∈（2，+∞）

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=xln（x-1），確定函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞增，g（2）=0，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)g（x）=xln（x-1），則g′（x）=ln（x-1）+$\frac{x}{x-1}$，
∴g″（x）=$\frac{1}{x-1}$-$\frac{1}{（x-1）^{2}}$，
∴1＜x＜2，g″（x）＜0，x＞2，g″（x）＞0，
∴g′（x）≥g′（2）=2＞0，
∴函數(shù)在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∵g（2）=0，
∴當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）有零點(diǎn)x₀，且x₀∈（2，+∞），
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，屬于中檔題．