Question

4．如圖，點(diǎn)B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），點(diǎn)A時(shí)單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)．設(shè)點(diǎn)P為單位圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q滿足$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$，∠AOP=2θ（$\frac{π}{6}$≤θ＜$\frac{π}{2}$），f（θ）=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OQ}$，求f（θ）的取值范圍，當(dāng)$\overrightarrow{OB}$⊥$\overrightarrow{OQ}$時(shí)，求四邊形OAQP的面積．

Answer 1

分析 由題意可得P（cos2θ，sin2θ），A（1，0），再由$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$得到$\overrightarrow{OQ}$的坐標(biāo)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得f（θ），然后由θ得范圍求得f（θ）的范圍；然后由
$\overrightarrow{OB}$⊥$\overrightarrow{OQ}$求得θ值，則四邊形OAQP的面積可求．

解答 解：由題意可得：P（cos2θ，sin2θ），A（1，0），
則$\overrightarrow{OQ}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OP}$=（1+cos2θ，sin2θ），
又∵B（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∴f（θ）=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{OQ}$=-$\frac{1}{2}$（1+cos2θ）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2θ
=sin（2θ-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{π}{6}$≤θ＜$\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$≤2θ-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，則$\frac{1}{2}$≤sin（2θ-$\frac{π}{6}$）≤1，
∴0≤f（θ）≤$\frac{1}{2}$，
∴f（θ）的取值范圍[0，$\frac{1}{2}$]．
當(dāng)$\overrightarrow{OB}$⊥$\overrightarrow{OQ}$時(shí)，有sin（2θ-$\frac{π}{6}$）-$\frac{1}{2}$=0，
即sin（2θ-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{π}{6}$≤2θ-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$，∴2θ-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
解得：$θ=\frac{π}{6}$．
∴${S}_{四邊形OAQP}=2×\frac{1}{2}×1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)的定義、二倍角公式、兩角差的正弦公式等三角函數(shù)的知識，考查了運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．