Question

在△ABC中，在△ABC中，a、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且asinA=bsinB+csinB+csinC
（Ⅰ）求A的大��；
（Ⅱ）若sinB+sinC=1，求∠B的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用正弦定理知，asinA=bsinB+csinB+csinC?a²=b²+bc+c²，再利用余弦定理即可求得A的大�。�
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A=

2π

3

，于是C=

π

3

-B，利用sinB+sin（

π

3

-B）=1，即可求得B的值．

解答：解：（Ⅰ）∵在△ABC中，asinA=bsinB+csinB+csinC，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sin B

=

c

sinC

=2R，
得：sinA=

a

2R

，sinB=

b

2R

，sinC=

c

2R

，分別代入上式，
得a²=b²+bc+c²，
由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，
∴cosA=-

1

2

，又A∈（0，π），
∴A=

2π

3

．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知A=

2π

3

，
∴B+C=

π

3

，
∴C=

π

3

-B，
∴sinB+sinC=1?sinB+sin（

π

3

-B）=1，
即sinB+

3

2

cosB-

1

2

sinB
=

1

2

sinB+

3

2

cosB
=sin（B+

π

3

）
=1，
又B∈（0，

π

3

）
∴B=

π

6

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查正弦定理與余弦定理，考查兩角和與差的正弦，（Ⅰ）中求得A=

2π

3

是關(guān)鍵，考查思維與運(yùn)算能力，屬于中檔題．