Question

19．若定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（x）=$\frac{f′（1）}{2}$•e^2x-2+x²-2f（0）x，g（x）=f（$\frac{x}{2}$）-$\frac{1}{4}$x²+（1-a）x+a，a∈R．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）解析式；
（Ⅱ）求函數(shù)g（x）單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）若x、y、m滿足|x-m|≤|y-m|，則稱x比y更接近m．當(dāng)a≥2且x≥1時，試比較$\frac{e}{x}$和e^x-1+a哪個更接近lnx，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過f（x）得f′（x），令x=1得f（0）=1，再在f（x）中令x=0得f（0），從而得f（x）=e^2x+x²-2x；
（Ⅱ）由（I）知g（x）=e^x-a（x-1），從而g′（x）=e^x-a，分①a≤0、②a＞0，通過g′（x）與0的關(guān)系討論即可；
（Ⅲ）通過設(shè)設(shè)p（x）=$\frac{e}{x}$-lnx，q（x）=e^x-1+a-lnx，對其求導(dǎo)后可得p（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，q（x）在∈[1，+∞）上為增函數(shù)，分1≤x≤e、x＞e兩種情況討論即可．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，得f′（x）=f′（1）e^2x-2+2x-2f（0），
所以f′（1）=f′（1）+2-2f（0），即f（0）=1．
又f（0）=$\frac{1}{2}$f′（1）e^-2，
所以f（x）=e^2x+x²-2x．
（Ⅱ）∵f（x）=e^2x-2x+x²，
∴g（x）=f（$\frac{x}{2}$）-$\frac{1}{4}$x²+（1-a）x+a=e^x-x-$\frac{1}{4}$x²+（1-a）x+a=e^x-a（x-1）
∴g′（x）=e^x-a，
①a≤0時，g′（x）＞0，函數(shù)g（x）在R上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時，由g′（x）=e^x-a=0得x=lna，
∴x∈（-∞，lna）時，g′（x）＜0，g（x）單調(diào)遞減；
x∈（lna，+∞）時，g′（x）＞0，g（x）單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)a＞0時，函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（lna，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，lna）．
（Ⅲ）解：設(shè)p（x）=$\frac{e}{x}$-lnx，q（x）=e^x-1+a-lnx，
∴p′（x）=-$\frac{e}{{x}^{2}}$-$\frac{1}{x}$＜0，
∴p（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，又p（e）=0，
∴當(dāng)1≤x≤e時，p（x）≥0；當(dāng)x＞e時，p（x）＜0．
∵q′（x）=e^x-1-$\frac{1}{x}$，q″（x）=e^x-1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，
∴q′（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，又q′（1）=0，
∴x∈[1，+∞）時，q′（x）≥0，
∴q（x）在∈[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴q（x）≥g（1）=a+2＞0．
①當(dāng)1≤x≤e時，|p（x）-q（x）|=p（x）-q（x）=$\frac{e}{x}$-e^x-1-a，
設(shè)m（x）=2lnx-e^x-1-a，
則m′（x）=-$\frac{e}{{x}^{2}}$＜0，
∴m（x）在[1，+∞）上為減函數(shù)，
∴m（x）≤m（1）=e-1-a，
∵當(dāng)a≥2，
∴m（x）＜0，
∴|p（x）|＜|q（x）|，
∴$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更接近lnx．
②當(dāng)x＞e時，|p（x）-q（x）|=-p（x）-q（x）=-$\frac{e}{x}$+2lnx-e^x-1-a＜2lnx-e^x-1-a，
設(shè)n（x）=2lnx-e^x-1-a，則n′（x）=$\frac{2}{x}$-e^x-1，n″（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$-e^x-1＜0，
∴n′（x）在x＞e時為減函數(shù)，
∴n′（x）＜n′（e）=$\frac{2}{e}$-e^e-1＜0，
∴n（x）在x＞e時為減函數(shù)，
∴n（x）＜n（e）=2-a-e^e-1＜0，
∴|p（x）|＜|q（x）|，
∴$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更接近lnx．
綜上：在a≥2且x≥1時時，$\frac{e}{x}$比e^x-1+a更接近lnx．

點評 本題考查函數(shù)的單調(diào)性及最值，利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于難題