Question

15．若定義在R上的函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+a}$的圖象的最高點為P（m，n）．
（1）若m＜1，n＜1，求a的取值范圍；
（2）若對任意的x，y∈R，都有|f（x）-f（y）|＜1，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意可得a＞0，從而可得$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{a}＜1}\\{2\sqrt{a}＞1}\end{array}\right.$，從而解得．
（2）易知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+a}$是R上的奇函數(shù)，從而可得0＜2n＜1，從而解得．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+a}$的定義域為R，
∴a＞0，
f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+a}$=$\frac{1}{x+\frac{a}{x}}$，
故當x=$\sqrt{a}$時，f（x）有最大值；
故$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{a}＜1}\\{2\sqrt{a}＞1}\end{array}\right.$，
故$\frac{1}{4}$＜a＜1；
（2）易知函數(shù)f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+a}$是R上的奇函數(shù)，
又∵對任意的x，y∈R，都有|f（x）-f（y）|＜1，
∴0＜2n＜1，
∴0＜$\frac{m}{{m}^{2}+{m}^{2}}$＜$\frac{1}{2}$，
即0＜$\frac{1}{2m}$＜$\frac{1}{2}$，
故m＞1．

點評 本題考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用及函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了函數(shù)的最值的應(yīng)用．