Question

3．函數(shù)y=$\frac{2-sinα}{cosα-1}$的值域是（-∞，-$\frac{3}{4}$]．

Answer 1

分析 y=$\frac{2-sinα}{cosα-1}$=-$\frac{sinα-2}{cosα-1}$可看作點(diǎn)（cosα，sinα）與（1，2）連線斜率的相反數(shù)，由直線和圓的位置關(guān)系可得．

解答 解：y=$\frac{2-sinα}{cosα-1}$=-$\frac{sinα-2}{cosα-1}$可看作點(diǎn)（cosα，sinα）與（1，2）連線斜率的相反數(shù)，
由sin²α+cos²α=1可知點(diǎn)（cosα，sinα）在單位圓x²+y²=1上運(yùn)動(dòng)，
設(shè)過點(diǎn)（1，2）且斜率為k的直線y-2=k（x-1）即kx-y+2-k=0與單位圓相切，
則$\frac{|2-k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{3}{4}$，∴$\frac{sinα-2}{cosα-1}$∈[$\frac{3}{4}$，+∞），
∴函數(shù)的值域?yàn)椋?∞，-$\frac{3}{4}$]，
故答案為：（-∞，-$\frac{3}{4}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)的最值，數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為直線的斜率范圍是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．