Question

19．已知等差數(shù)列{a_n}中，a₃+a₄=15，a₂a₅=54，公差d＜0，且數(shù)列{b_n}滿足b_n=2^11-a_n．
（1）求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）已知S_n是數(shù)列{a_n}的前n項之和，T_m是數(shù)列{b_n}的前m項之和，若$\frac{{S}_{n}-{a}_{n}}{n}$的最大值恒大于T_m，求符合條件的m值．

Answer 1

分析 （1）等差數(shù)列{a_n}中，a₃+a₄=15，a₂a₅=54，公差d＜0，可得a₂+a₅=15，a₂a₅=54，因此a₂，a₅是一元二次方程x²-15x+54=0的兩個實數(shù)根，且a₂＞a₅，
解得a₂，a₅．解得d，可得a_n．即可得出b_n，利用等比數(shù)列的定義即可證明．
（2）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的前n項和公式可得S_n，T_m，可得$\frac{{S}_{n}-{a}_{n}}{n}$及其最大值，即可解出．

解答 （1）證明：∵等差數(shù)列{a_n}中，a₃+a₄=15，a₂a₅=54，公差d＜0，
∴a₂+a₅=15，a₂a₅=54，
∴a₂，a₅是一元二次方程x²-15x+54=0的兩個實數(shù)根，且a₂＞a₅，
解得a₂=9，a₅=6．
∴3d+9=6，解得d=-1，
∴a_n=a₂+（n-2）d=9-（n-2）=11-n．
∴b_n=2^11-a_n=2ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，首項為2，公比為2．
（2）解：S_n=$\frac{n（10+11-n）}{2}$=$-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{21}{2}n$．
T_m=$\frac{2（{2}^{m}-1）}{2-1}$=2^m+1-2，
$\frac{{S}_{n}-{a}_{n}}{n}$=$\frac{-\frac{1}{2}{n}^{2}+\frac{21}{2}n-（11-n）}{n}$=$\frac{23}{2}$-$（\frac{1}{2}n+\frac{11}{n}）$≤$\frac{27}{4}$（n=4時取等號）．
∵$\frac{27}{4}$≥T_m=2^m+1-2，
解得m=2，1．
∴符合條件的m值為：1，2．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、基本不等式的性質(zhì)，考查了變形能力、推理能力與計算能力，屬于中檔題．