Question

17．已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx），其中常數(shù)ω＞0．
（1）若y=f（x）在$[-\frac{π}{4}，\frac{2π}{3}]$上單調(diào)遞增，求ω的取值范圍；
（2）令ω=2，將函數(shù)y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位，再向上平移1個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，區(qū)間[a，b]（a，b∈R且a＜b）滿足：y=g（x）在[a，b]上至少含有30個(gè)零點(diǎn)，在所有滿足上述條件的[a，b]中，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （1）依題意可得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}ω≥-\frac{π}{2}}\\{\frac{2π}{3}ω≤\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解之即可．
（2）由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得g（x）的解析式，令g（x）=0，即可解出零點(diǎn)的坐標(biāo)，可得相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離．若b-a最小，則a和b都是零點(diǎn)，此時(shí)在區(qū)間[a，mπ+a]（m∈N^*）恰有2m+1個(gè)零點(diǎn)，所以在區(qū)間[a，14π+a]是恰有29個(gè)零點(diǎn)，從而在區(qū)間（14π+a，b]至少有一個(gè)零點(diǎn)，即可得到a，b滿足的條件．進(jìn)一步即可得出b-a的最小值．

解答 解：（1）因?yàn)棣兀?，y=f（x）=2sinωx在$[-\frac{π}{4}，\frac{2π}{3}]$上單調(diào)遞增，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{π}{4}ω≥-\frac{π}{2}}\\{\frac{2π}{3}ω≤\frac{π}{2}}\end{array}\right.$，解得0＜ω≤$\frac{3}{4}$．
∴ω的取值范圍為（0，$\frac{3}{4}$]．
（2）令ω=2，將函數(shù)y=f（x）=2sin2x的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個(gè)單位長(zhǎng)度，可得函數(shù)y=2sin2（x+$\frac{π}{6}$）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）的圖象；
再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)y=g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）+1的圖象，
令g（x）=0，求得sin（2x+$\frac{π}{3}$）=-$\frac{1}{2}$，
∴2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{7π}{6}$，或 2x+$\frac{π}{3}$=2kπ+$\frac{11π}{6}$，k∈z，
求得x=kπ+$\frac{5π}{12}$ 或x=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈z，
故函數(shù)g（x）的零點(diǎn)為x=kπ+$\frac{5π}{12}$或x=kπ+$\frac{3π}{4}$，k∈z
∴相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．
若b-a最小，則a和b都是零點(diǎn)，此時(shí)在區(qū)間[a，π+a]，[a，2π+a]，…，[a，mπ+a]（m∈N^*）分別恰有3，5，…，2m+1個(gè)零點(diǎn)，
所以在區(qū)間[a，14π+a]是恰有29個(gè)零點(diǎn)，從而在區(qū)間（14π+a，b]至少有一個(gè)零點(diǎn)，
∴b-a-14π≥$\frac{π}{3}$．
另一方面，在區(qū)間[$\frac{5π}{12}$，14π+$\frac{π}{3}$+$\frac{5π}{12}$]恰有30個(gè)零點(diǎn)，
因此b-a的最小值為14π+$\frac{π}{3}$=$\frac{43π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，著重考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運(yùn)算求解能力，考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的零點(diǎn)，考查了分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力、推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．