Question

4．已知拋物線y=x²-1上一點B（-1，0），若拋物線上存在兩點P，Q，且使得PQ⊥PB，則Q點橫坐標的取值范圍為（-∞，-3]∪[1，+∞）．

Answer 1

分析 先假設P，Q的坐標，利用PQ⊥PB，可得斜率之積為-1，從而可得方程，再利用方程根的判別式大于等于0，即可求得Q點的橫坐標的取值范圍．

解答 解：設P（t，t²-1），Q（s，s²-1）
∵BP⊥PQ，
∴$\frac{{t}^{2}-1}{t+1}$•$\frac{{t}^{2}-{s}^{2}}{t-s}$=-1，
即t²+（s-1）t-s+1=0
∵t∈R，P，Q是拋物線上兩個不同的點
∴必須有△=（s-1）²+4（s-1）≥0．
即s²+2s-3≥0，
解得s≤-3或s≥1．
∴Q點的橫坐標的取值范圍是 （-∞，-3]∪[1，+∞）
故答案為：（-∞，-3]∪[1，+∞）．

點評 本題重點考考查取值范圍問題，解題的關鍵是利用兩直線垂直的條件：斜率之積為-1構建方程，再利用方程根的判別式大于等于0進行求解．