Question

19．如圖圓C半徑為1，A為圓C上的一個定點，B為圓C上的動點，若點A，B，C不共線，且$|\overrightarrow{AB}-t\overrightarrow{AC}|≥|\overrightarrow{BC}|$對任意t∈（0，+∞）恒成立，則$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=1．

Answer 1

分析 兩邊平方，設(shè)$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=m，整理可得t²-2tm-（1-2m）≥0，再由不等式恒成立思想，運用判別式小于等于0，解不等式即可．

解答 解：∵$|\overrightarrow{AB}-t\overrightarrow{AC}|≥|\overrightarrow{BC}|$，
∴|$\overrightarrow{AB}$-t$\overrightarrow{AC}$|≥|$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$|，
兩邊平方可得：
$\overrightarrow{AB}$²-2t$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+t²$\overrightarrow{AC}$≥$\overrightarrow{AC}$²-2$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$+$\overrightarrow{AB}$²，
設(shè)$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=m，則有：t²-2tm-（1-2m）≥0，
則有判別式△=4m²+4（1-2m）≤0，
化簡可得（m-1）²≤0，即m=1，
即有$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=1，
故答案為：1．

點評 本題考查平面向量的運用，考查平方法的運用，考查向量的平方即為模的平方，考查二次不等式恒成立的求法，注意運用判別式小于等于0，考查運算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．