Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓:,設(shè)是橢圓上的任一點(diǎn)，從原點(diǎn)向圓：作兩條切線，分別交橢圓于點(diǎn)，.

（1）若直線，互相垂直，求圓的方程；

（2）若直線，的斜率存在，并記為，，求證：；

（3）試問是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

Answer 1

（1）（2）詳見解析（3）

【解析】

試題分析：（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般用待定系數(shù)法，由于已知半徑，只需列出關(guān)于圓心坐標(biāo)的兩個(gè)獨(dú)立條件即可.因?yàn)橹本�，互相垂直，且和圓相切，所以，，又點(diǎn)在橢圓上，所以，解得（2）利用直線與圓相切得出關(guān)于直線斜率的條件，再根據(jù)韋達(dá)定理給予證明：因?yàn)橹本�：與圓相切，所以,化簡得，同理由：與圓相切得，所以是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，因此,因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以,從而（3）分別用直線斜率表示出，坐標(biāo)，利用（2）的結(jié)論進(jìn)行化簡.注意討論斜率不存在的情形.

試題解析：（1）由圓的方程知，圓的半徑的半徑，

因?yàn)橹本�，互相垂直，且和圓相切，

所以，即，① 1分

又點(diǎn)在橢圓上，所以，② 2分

聯(lián)立①②，解得 3分

所以所求圓的方程為． 4分

（2）因?yàn)橹本�：，：，與圓相切，

所以,化簡得 6分

同理， 7分

所以是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，

8分

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓C上，所以，即，

所以，即． 10分

（3）是定值，定值為36， 11分

理由如下：

法一：（i）當(dāng)直線不落在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè),

聯(lián)立解得 12分

所以，同理，得， 13分

由，

所以

15分

（ii）當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時(shí),顯然有，

綜上：． 16分

法二：（i）當(dāng)直線不落在坐標(biāo)軸上時(shí),設(shè),

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061806024772836448/SYS201506180602517753874667_DA/SYS201506180602517753874667_DA.045.png">，所以,即， 12分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015061806024772836448/SYS201506180602517753874667_DA/SYS201506180602517753874667_DA.033.png">在橢圓C上，所以，

即， 13分

所以，整理得，

所以，

所以． 15分

（ii）當(dāng)直線落在坐標(biāo)軸上時(shí),顯然有，

綜上：． 16分

考點(diǎn)：直線與圓位置關(guān)系，直線與橢圓位置關(guān)系