Question

【題目】過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且斜率為1的直線與拋物線交于、兩點(diǎn)，且.

（1）求拋物線的方程；

（2）點(diǎn)是拋物線上異于、的任意一點(diǎn)，直線、與拋物線的準(zhǔn)線分別交于點(diǎn)、，求證：為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）根據(jù)題意，設(shè)直線，與拋物線方程聯(lián)立，再利用拋物線定義，由求解.

（2）設(shè)，得到直線，令，得到，再根據(jù)點(diǎn)均在拋物線上 ，將，，代入化簡(jiǎn)得到，同理可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，然后由數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算求解.

（1）由題意知，則直線，

代入拋物線，化簡(jiǎn)得，

設(shè)，則，

因拋物線的準(zhǔn)線方程為，

由拋物線的定義得，

，

故拋物線的方程為.

（2）設(shè)，則直線，

當(dāng)時(shí)，，

∵點(diǎn)均在拋物線上

∴，

∴，

即點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

同理可得點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，

∴，

由（1）知，

∴

∴，為定值.