Question

【題目】如圖，三棱柱中，側(cè)面是菱形，.

（I）證明：；

（II）若，求直線(xiàn)與平面所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（I）見(jiàn)解析； （II） .

【解析】

（I）連接交于點(diǎn)，連接，通過(guò)證明以及，證得平面，由此證得，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可知.（II）先證得平面，由此以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)計(jì)算直線(xiàn)的方向向量以及平面的法向量，由此求得線(xiàn)面角的正弦值，進(jìn)而求得余弦值.

（I）證明：連接交于點(diǎn)，連接，

因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形，所以且為中點(diǎn),

所以平面，

平面，

為中點(diǎn)，為的垂直平分線(xiàn)，

（II）已知，，故

由（I）知則，

又

又平面

故以為原點(diǎn)，、、所在直線(xiàn)為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系

則、、、

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則

，設(shè)

設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為

則

故直線(xiàn)與平面所成角的余弦值為