Question

10．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=1+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為$ρ=4cos（θ-\frac{π}{6}）$．
（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若P（x，y）是直線l與圓面$ρ≤4cos（θ-\frac{π}{6}）$的公共點(diǎn)，求$μ=\sqrt{3}x+y$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）圓C的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為${ρ^2}=4ρ（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ+\frac{1}{2}sinθ）$，由此能求出圓C的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由圓C的方程轉(zhuǎn)化為${（x-\sqrt{3}）^2}+{（y-1）^2}=4$，得到圓C的圓心是$（\sqrt{3}，1）$，半徑是2，將$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$，代入$u=\sqrt{3}x+y$，得u=4-t，由此能求出$u=\sqrt{3}x+y$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)閳AC的極坐標(biāo)方程為$ρ=4cos（θ-\frac{π}{6}）$，
所以${ρ^2}=4ρ（\frac{{\sqrt{3}}}{2}cosθ+\frac{1}{2}sinθ）$
所以圓C的直角坐標(biāo)方程${x^2}+{y^2}-2\sqrt{3}x-2y=0$．
（Ⅱ）由圓C的方程${x^2}+{y^2}-2\sqrt{3}x-2y=0$，可得${（x-\sqrt{3}）^2}+{（y-1）^2}=4$，
所以圓C的圓心是$（\sqrt{3}，1）$，半徑是2，
將$\left\{{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\\{y=1+\frac{1}{2}t}\end{array}}\right.$，代入$u=\sqrt{3}x+y$，得u=4-t，
又直線l過(guò)$C（\sqrt{3}，1）$，圓C的半徑是2，所以-2≤t≤2，
即$u=\sqrt{3}x+y$的取值范圍是[2，6]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的直角坐標(biāo)的求法，考查代數(shù)式的取值范圍的求法，考查極坐標(biāo)方程、直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程的互化，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．