Question

5．已知橢圓G：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，右焦點(diǎn)為（2$\sqrt{2}$，0），過原點(diǎn)O的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交橢圓G于點(diǎn)M．
（Ⅰ）求橢圓G的方程；
（Ⅱ）求證：$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}$為定值，并求△AOM面積的最小值．

Answer 1

分析 （I）由題意$c=2\sqrt{2}$，$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，又b²=a²-c²，聯(lián)立解出即可；
（II）對直線l的斜率分類討論：（1）不存在時(shí)直接求出；（2）當(dāng)直線l與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx（k≠0），A（x₁，y₁），與橢圓方程聯(lián)立化為（1+3k²）x²=12，即可得出|OA|²，又OM是線段AB的垂直平分線，故方程為$y=-\frac{1}{k}x$，同理可得|OM|²，代入$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}$+$\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}$即可證明為定值．
求△AOM面積時(shí)有以下兩種方法：方法一：由$\frac{1}{3}=\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}≥\frac{2}{{|{OA}|•|{OM}|}}$，即可得出；方法二：△AOM的面積$S=\frac{1}{2}|{OA}|•|{OM}|$，把（2）代入化簡利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答 （I）解：由題意$c=2\sqrt{2}$，
∵$e=\frac{c}{a}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，∴$a=2\sqrt{3}$，
∴b²=a²-c²=4
∴橢圓G的方程為$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$．
（Ⅱ）證明：（1）當(dāng)直線l垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，
易得$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=\frac{1}{3}$，
△AOM的面積$S=\frac{1}{2}|{OA}|•|{OM}|=2\sqrt{3}$．
（2）當(dāng)直線l與坐標(biāo)軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的方程為y=kx（k≠0），A（x₁，y₁），
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx\\ \frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1\end{array}\right.$消元得（1+3k²）x²=12，
∴${x_1}^2=\frac{12}{{1+3{k^2}}}$，${y_1}^2={k^2}{x_1}^2=\frac{{12{k^2}}}{{1+3{k^2}}}$，
∴${|{OA}|^2}={x_1}^2+{y_1}^2=\frac{{12（1+{k^2}）}}{{1+3{k^2}}}$，
又OM是線段AB的垂直平分線，故方程為$y=-\frac{1}{k}x$，
同理可得${|{OM}|^2}=\frac{{12（1+{k^2}）}}{{{k^2}+3}}$，
從而$\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}=\frac{{1+3{k^2}}}{{12（1+{k^2}）}}+\frac{{{k^2}+3}}{{12（1+{k^2}）}}=\frac{{4{k^2}+4}}{{12（1+{k^2}）}}=\frac{1}{3}$為定值．
方法一：由$\frac{1}{3}=\frac{1}{{{{|{OA}|}^2}}}+\frac{1}{{{{|{OM}|}^2}}}≥\frac{2}{{|{OA}|•|{OM}|}}$，所以|OA|•|OM|≥6，
當(dāng)且僅當(dāng)|OA|=|OM|時(shí)，即1+3k²=k²+3，k=±1時(shí)，等號成立，
∴△AOM的面積$S=\frac{1}{2}|{OA}|•|{OM}|≥3$． 
∴當(dāng)k=±1時(shí)，△AOM的面積有最小值3．
方法二：△AOM的面積$S=\frac{1}{2}|{OA}|•|{OM}|$，
∴${S^2}=\frac{1}{4}{|{OA}|^2}•{|{OM}|^2}=\frac{1}{4}×\frac{{12（1+{k^2}）}}{{1+3{k^2}}}×\frac{{12（1+{k^2}）}}{{{k^2}+3}}$=$\frac{{36{{（1+{k^2}）}^2}}}{{（1+3{k^2}）（{k^2}+3）}}≥\frac{{36{{（1+{k^2}）}^2}}}{{{{（\frac{{1+3{k^2}+{k^2}+3}}{2}）}^2}}}$=9．
∴當(dāng)且僅當(dāng)1+3k²=k²+3時(shí)，即k=±1時(shí)，△AOM的面積有最小值3．

點(diǎn)評 本題考查了圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立根與系數(shù)的關(guān)系、三角形面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．