Question

11．如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為DD₁、DB的中點．
（Ⅰ）求證：EF∥平面ABC₁D₁；   
（Ⅱ）求三棱錐V${\;}_{C-{B}_{1}FE}$的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）欲證EF∥平面ABC₁D₁，只需在平面ABC₁D₁中找一直線與EF平行，根據(jù)E、F分別為DD₁、DB的中點，可得EF∥BD₁，最后根據(jù)線面平行的判定定理可得結(jié)論；
（Ⅱ）由題意，可先證明出CF⊥平面BDD₁B₁，由此得出三棱錐的高，再求出底面△B₁EF的面積，然后再由棱錐的體積公式即可求得體積．

解答 （Ⅰ）證明：連接BD₁，
∵E、F分別為DD₁、DB的中點，
∴EF是三角形BD₁D的中位線，即EF∥BD₁；…（3分）
又EF?平面ABC₁D₁，BD₁?平面ABC₁D₁，…（5分）
所以EF∥平面ABC₁D₁
（Ⅱ）解：∵EF⊥平面B₁FC，∴EF⊥FB₁
EF=$\sqrt{3}$，F(xiàn)B₁=$\sqrt{6}$
Rt△B₁EF的面積=$\frac{1}{2}$×EF×FB₁=$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\sqrt{6}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$
∵CB=CD，BF=DF，∴CF⊥BD．
∵DD₁⊥平面ABCD，∴DD₁⊥CF
又DD₁∩BD=D，∴CF⊥平面BDD₁B₁   
又CF=$\sqrt{2}$，
∴V_B1-EFC=${V_{C-{B_1}EF}}=\frac{1}{3}•{S_{△{B_1}EF}}•CF=\frac{1}{3}•\frac{{3\sqrt{2}}}{2}•\sqrt{2}$=1…（12分）

點評 本題主要考查了線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理，考查三棱錐的體積，同時考查了推理論證的能力和空間想象能力，屬于中檔題．