Question

7．橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1中，以點(diǎn)M（1，$\frac{1}{2}$）為中點(diǎn)的弦所在直線方程是x+2y-2=0．

Answer 1

分析 判斷M在橢圓內(nèi)，設(shè)弦AB的端點(diǎn)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），代入橢圓方程，運(yùn)用點(diǎn)差法，結(jié)合直線的斜率公式和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，再由點(diǎn)斜式方程，即可得到所求方程．

解答 解：由M點(diǎn)代入橢圓方程可得，$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{4}$＜1，
即M在橢圓內(nèi)，則直線與橢圓相交．
設(shè)弦AB的端點(diǎn)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
即有$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+y₁²=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}$+y₂²=1，
兩式相減可得，$\frac{（{x}_{1}-{x}_{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）}{4}$+（y₁-y₂）（y₁+y₂）=0，
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，x₁+x₂=2，y₁+y₂=1，
代入上式，可得k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{4（{y}_{1}+{y}_{2}）}$=-$\frac{1}{2}$，
即有弦所在的直線方程為y-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-1），
即為x+2y-2=0．
故答案為：x+2y-2=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的方程的運(yùn)用，考查點(diǎn)差法求中點(diǎn)弦方程，同時(shí)考查直線的斜率和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用，屬于中檔題．