Question

8．已知函數(shù)f（x）=a^x（a＞0，a≠1），其導函數(shù)為f′（x），滿足f（x）＜f′（x）對于任意實數(shù)x恒成立，則（　�。�

• A． f（1）＞e，f（2012）＞e²⁰¹²
• B． f（1）＞e，f（2012）＜e²⁰¹²
• C． f（1）＜e，f（2012）＞e²⁰¹²
• D． f（1）＜e，f（2012）＜e²⁰¹²

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，求導g′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，從而可得a＞e，從而解得．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，故g′（x）=$\frac{f′（x）{e}^{x}-f（x）{e}^{x}}{（{e}^{x}）^{2}}$=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f（x）＜f′（x）對于任意實數(shù)x恒成立，
∴g′（x）＞0對于任意實數(shù)x恒成立，
∴g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=$（\frac{a}{e}）^{x}$在R上是增函數(shù)，
故$\frac{a}{e}$＞1，即a＞e，
∴f（1）=a＞e，f（2012）=a²⁰¹²＞e²⁰¹²，
故選：A．

點評 本題考查了導數(shù)的綜合應用，關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$．