Question

14．設(shè)非空集合A={x||x²-2x|≤x}，B={x||$\frac{x}{1-x}$|≤$\frac{x}{1-x}$}，C={x|ax²+x+b＜0}，試問(wèn)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，b，使（A∪B）∩C=∅，（A∪B）∪C=R成立？若存在，試求它們的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 分別求解絕對(duì)值的不等式和分式不等式化簡(jiǎn)集合A，B，然后求出A與B的并集，根據(jù)（A∪B）∩C=∅，（A∪B）∪C=R，可得集合C為A∪B在R上的補(bǔ)集，即可得到集合C，可知ax²+x+b=0的兩個(gè)根為0和3，根據(jù)韋達(dá)定理列出方程求出a，b的值即可．

解答 解：|2x-x²|≤x，當(dāng)x=0時(shí)顯然成立；
當(dāng)x≠0時(shí)，化簡(jiǎn)得$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}＞0}\\{2x-{x}^{2}≤x}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{2x-{x}^{2}≤0}\\{{x}^{2}-2x≤0}\end{array}\right.$，
解得：1≤x＜2或2≤x≤3，
∴A={x|1≤x≤3}∪{0}；
根據(jù)|$\frac{x}{1-x}$|≤$\frac{x}{1-x}$，得到$\frac{x}{1-x}$≥0，
∴x≥0且1-x＞0或x≤0且1-x＜0，
解得：0≤x＜1，則B={x|0≤x＜1}，
∴A∪B={x|0≤x≤3}．
若（A∪B）∩C=∅，（A∪B）∪C=R，
則C={x|x＜0或x＞3}．
∴0，3是方程ax²+x+b=0的兩根，
由韋達(dá)定理：$\left\{\begin{array}{l}{0+3=-\frac{1}{a}}\\{0×3=\frac{a}}\\{a≠0}\end{array}\right.$，解得a=-$\frac{1}{3}$，b=0．
∴存在實(shí)數(shù)a=$-\frac{1}{3}$，b=0，使（A∪B）∩C=∅，（A∪B）∪C=R成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查并集、交集的運(yùn)算，考查絕對(duì)值不等式和一元二次不等式的解法，訓(xùn)練了運(yùn)用韋達(dá)定理解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，是中檔題．