Question

如圖，已知四棱錐的底面為菱形，且，

，．

（1）求證：平面平面 ；

（2）求二面角的平面角的余弦值．

Answer 1

解：（1）如圖所示，取AB中點E，連PE、CE．

則PE是等腰△PAB的底邊上的中線，所以PE⊥AB．

PE=1，CE=，PC=2，即．

由勾股定理可得，PE⊥CE．又因為ABÌ平面ABCD，CEÌ平面ABCD，

且AB∩CE=E，所以PE⊥平面ABCD．

而PEÌ平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD．

（2）（方法1）如圖1，在Rt△PEC中，過點E作EF⊥PC于點F，連AF．過A作平面PCD的垂線，垂足為H，連FH．

因為AE⊥EC，AE⊥PE，所以AE⊥平面PEC，于是AE⊥PC．

又EF⊥PC，所以PC⊥平面AEF，故PC⊥AF．

已有PC⊥AH，可得PC⊥平面AFH，所以PC⊥FH．

故∠AFH是二面角A-PC-D的平面角．

由AB⊥平面PEC知EF⊥AB，又AB∥CD，所以EF⊥CD．

而已有EF⊥PC，所以EF⊥平面PCD．又因為AH⊥平面PCD，

所以AH∥EF．

由于AB∥平面PCD，所以A、E兩點到平面PCD的距離相等，故AH=EF．

所以AEFH是矩形，∠AFH=∠EAF．

在Rt△AEF中，AE=1，EF=，AF=，所以．

即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．

（方法2）以AB中點E為坐標原點，EC所在直線為x軸，EB所在直線為y軸，EP所在直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系．

則A（0,-1,0），C（,0,0），D（,-2,0），P（0,0,1），=（,1,0），=（,0,-1），=（0,2,0）．

設是平面PAC的一個法向量，則，即．

取，可得，．

設是平面PCD的一個法向量，則，即．

取，可得，．

故，即二面角A-PC-D的平面角的余弦值是．