Question

1．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，A為橢圓與y軸的一個交點，△ABC為橢圓的內(nèi)接正三角形，則△ABC的邊長為$\frac{72\sqrt{3}}{31}$．

Answer 1

分析 設(shè)正三角形ABC的邊長為2a，頂點A是（0，2），并且且高在y軸上，即有B（-a，2-$\sqrt{3}$a），C（b，2-$\sqrt{3}$a），
再結(jié)合點B在橢圓上，代入橢圓方程，解關(guān)于a的方程，即可得到所求邊長．

解答 解：設(shè)正三角形ABC的邊長為2a，
頂點A是（0，2），并且且高在y軸上，
即有B（-a，2-$\sqrt{3}$a），C（b，2-$\sqrt{3}$a），
因為點B在橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，所以有$\frac{{a}^{2}}{9}$+$\frac{（2-\sqrt{3}a）^{2}}{4}$=1，
解得a=$\frac{36\sqrt{3}}{31}$，
即有2a=$\frac{72\sqrt{3}}{31}$．
故答案為：$\frac{72\sqrt{3}}{31}$．

點評 本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力與分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．