Question

19．設f（x）是定義在R⁺上的函數(shù)，且滿足條件：（1）f（xy）=f（x）+f（y）；（2）f（2）=1；（3）在（0，+∞）上是增函數(shù)，如果f（x）+f（x-3）≤2，求x的取值范圍．

Answer 1

分析 利用函數(shù)關(guān)系結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性將不等式進行轉(zhuǎn)化進行求解即可．

解答 解：∵f（2）=1，
∴f（4）=f（2）+f（2）=1+1=2，
則不等式f（x）+f（x-3）≤2等價為f（x（x-3））≤f（4），
∵在（0，+∞）上是增函數(shù)，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x-3＞0}\\{x（x-3）≤4}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞3}\\{{x}^{2}-3x-4≤0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{x＞0}\\{x＞3}\\{-1≤x≤4}\end{array}\right.$，
解得3＜x≤4，
即不等式的解集為（3，4]．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應用，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．