Question

P為橢圓上一點，左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂．
（1）若PF₁的中點為M，求證；
（2）若∠F₁PF₂=60°，求|PF₁|•|PF₂|之值；
（3）求|PF₁|•|PF₂|的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）在△F₁PF₂中，MO為中位線，根據(jù)三角形的中位線定理再結合橢圓的定義即可得出答案．
（2）先利用橢圓的定義得|PF₁|+|PF₂|=10，在△PF₁F₂中利用余弦定理得cos 60°=，兩者結合即可求得|PF₁|•|PF₂|．
（3）由點P（x，y）處的焦半徑公式|PF₁|=5+x，|PF₂|=5-x，知|PF₁|•|PF₂|=25-，再由|x|≤5，能求出|PF₁|•|PF₂|的最值．
解答：（1）證明：在△F₁PF₂中，
∵MO為中位線，
∴|MO|===a-=5-|PF₁|…．（3分）
（2）解：∵|PF₁|+|PF₂|=10，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=100-2|PF₁|•|PF₂|，
在△PF₁F₂中，cos 60°=，
∴|PF₁|•|PF₂|=100-2|PF₁|•|PF₂|-36，
∴|PF₁|•|PF₂|=．…（8分）
（3）解：由點P（x，y）處的焦半徑公式|PF₁|=5+x，|PF₂|=5-x，
∴|PF₁|•|PF₂|=25-，
∵|x|≤5，∴0≤x²≤25，
∴16≤|PF₁|•|PF₂|≤25．
∴|PF₁|•|PF₂|的最小值為16，|PF₁|•|PF₂|的最大值為25．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合運用，具體涉及到橢圓的簡單性質、余弦定理、焦半徑等基本知識點，解題時要認真審題，注意等價轉化思想的合理運用．