Question

5．已知實(shí)數(shù)x，y滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+6≥0}\\{4x-y-2≤0}\\{x≥0}\\{y≥0}\end{array}\right.$，若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為（　�。�

• A． 9+2$\sqrt{14}$
• B． 4+2$\sqrt{6}$
• C． 9+2$\sqrt{15}$
• D． 5+2$\sqrt{6}$

Answer 1

分析 作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義確定取得最大值的條件，然后利用基本不等式進(jìn)行求則$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值．

解答 解：由z=ax+by（a＞0，b＞0）得$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，
∵a＞0，b＞0，∴直線的斜率$-\frac{a}＜0$，
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：
平移直線得$y=-\frac{a}x+\frac{z}$，由圖象可知當(dāng)直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$經(jīng)過(guò)點(diǎn)A時(shí)，直線$y=-\frac{a}x+\frac{z}$的截距最大，此時(shí)z最大．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-y+6=0}\\{4x-y-2=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=14}\end{array}\right.$，即A（4，14），
此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值為2，
即4a+14b=2，∴2a+7b=1，
$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）×1=（$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$）×（2a+7b）=2+7+$\frac{7b}{a}$+$\frac{2a}$≥9+2$\sqrt{\frac{7b}{a}•\frac{2a}}$=9+2$\sqrt{14}$，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{7b}{a}$=$\frac{2a}$，即2a²=7b²時(shí)取等號(hào)．
故$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的最小值為9+2$\sqrt{14}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合求出目標(biāo)函數(shù)取得最大值的條件是解決本題的關(guān)鍵．