Question

如圖，B，C兩點(diǎn)在雙曲線x²-

y2

4

=1的右支上，線段BC的垂直平分線DA交y軸于點(diǎn)A（0，4），若cos∠BAC=-

7

15

，則點(diǎn)A到直線BC的距離d=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：確定D的坐標(biāo)，求出BC，AD，利用韋達(dá)定理及弦長(zhǎng)公式，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)BC的斜率為k，B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），D（x₀，y₀），
∵B，C兩點(diǎn)在雙曲線x²-

y2

4

=1的右支上，
∴k_OD=

y1+y2

x1+x2

=

4(x1-x2)

y1-y2

=

4

k

，
直線AD的方程為y=-

1

k

x+4，可得D（

4k

5

，

16

5

），
∴AD=

4

5

k2+1

，
令∠BAD=α，∵cos∠BAC=-

7

15

，∴cosα=

2 15

15

，tanα=

11

2

．
∴BC=

4 11

5

k2+1

又y=kx-

4k2

5

+

16

5

代入到雙曲線方程可得4x²-（kx-

4k2

5

+

16

5

）²=4
即（4-k²）x²-2k（-

4k2

5

+

16

5

）x-（-

4k2

5

+

16

5

）²-4=0
∴x₁+x₂=

8

5

k，x₁x₂=

-16k4+128k2-356

25(4-k2)

又BC=

4 11

5

k2+1

∴

-16k4+128k2-356

25(4-k2)

=

16k2-44

25

，
∴20k²-180=0，
∴k²=9
∴AD=

4 10

5

．
故答案為：

4 10

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，有難度．