Question

10．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=a₁+2²a₂+3²a₃+…+n²a_n，求a_n．

Answer 1

分析 由a_n+1=a₁+2²a₂+3²a₃+…+n²a_n得：當n≥2時，a_n=a₁+2²a₂+3²a₃+…+（n-1）²a_n-1，兩個式子相減求出數(shù)列的遞推公式，利用累積法求出a_n．

解答 解：由題意知，a_n+1=a₁+2²a₂+3²a₃+…+n²a_n，①
∴當n≥2時，a_n=a₁+2²a₂+3²a₃+…+（n-1）²a_n-1，②
①-②得，a_n+1-a_n=n²a_n，則a_n+1=（1+n²）a_n，即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=1+n²，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=1+{1}^{2}$，$\frac{{a}_{，3}}{{a}_{2}}=1+{2}^{2}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=1+（n-1）²，
以上（n-1）個式子相乘得，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=（1+1²）（1+2²）…[1+（n-1）²]，
∴a_n=3{（1+1²）（1+2²）…[1+（n-1）²]}，
則a_n=3$\sum _{i=2}^{n}$[1+（i-1）²]．

點評 本題考查了數(shù)列的遞推公式的化簡變形，以及累積法求數(shù)列的通項公式，屬于中檔題．