Question

 直線與雙曲線位置關(guān)系的判定及應(yīng)用 

　已知雙曲線C的方程為-=1(a>0,b>0),離心率e=,頂點(diǎn)到漸近線的距離為.

 (1)求雙曲線C的方程;

(2)如圖,P是雙曲線C上一點(diǎn),A、B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上,且分別位于第一、二象限.

若=λ,λ∈.求△AOB的面積的取值范圍.

Answer 1

解:(1)由題意知,雙曲線C的頂點(diǎn)(0,a)到漸近線ax-by=0的距離為,

∴=,即=.

由　得

∴雙曲線C的方程為-x2=1.

(2)由(1)知雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±2x,

設(shè)A(m,2m),B(-n,2n),m>0,n>0.

由=λ得P點(diǎn)坐標(biāo)為,

將P點(diǎn)坐標(biāo)代入-x2=1,化簡(jiǎn)得mn=.

設(shè)∠AOB=2θ,∵tan(-θ)2.

∴tan θ=,sin 2θ=.

又|OA|=m,|OB|=n,

∴S△AOB=|OA|·|OB|·sin 2θ

=2mn

=+1,

記S(λ)= +1,λ∈.

則S′(λ)= .

由S′(λ)=0得λ=1.

又S(1)=2,S=,S(2)= ,

∴當(dāng)λ=1時(shí),△AOB的面積取得最小值2,當(dāng)λ=時(shí),

△AOB的面積取得最大值.

∴△AOB面積的取值范圍是.