Question

7．設(shè)函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{sinπx，0≤x≤1}\\{lo{g}_{2015}x，x≥1}\end{array}\right.$，若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），則a+b+c的取值范圍為（2，2016）．

Answer 1

分析 由0≤x≤1，可得sinπx∈[0，1]，且x∈[0，$\frac{1}{2}$]時(shí)，函數(shù)f（x）=sinπx單調(diào)遞增；x∈[$\frac{1}{2}$，1]時(shí)，函數(shù)f（x）=sinπx單調(diào)遞減．x＞1，log₂₀₁₅x＞0，且函數(shù)f（x）=log₂₀₁₅x單調(diào)遞增，log₂₀₁₅2015=1．不妨設(shè)0＜a＜b＜c，利用f（a）=f（b）=f（c），可得a+b=1，2015＞c＞1，即可得出．

解答 解：∵0≤x≤1，
∴sinπx∈[0，1]，且x∈[0，$\frac{1}{2}$]時(shí)，
函數(shù)f（x）=sinπx單調(diào)遞增，函數(shù)值由0增加到1；
x∈[$\frac{1}{2}$，1]時(shí)，函數(shù)f（x）=sinπx單調(diào)遞減，
函數(shù)值由1減少到0；
x＞1，∴l(xiāng)og₂₀₁₅x＞0，
且函數(shù)f（x）=log₂₀₁₅x單調(diào)遞增，
log₂₀₁₅2015=1．
不妨設(shè)0＜a＜b＜c，
∵f（a）=f（b）=f（c），
∴a+b=1，2015＞c＞1，
∴a+b+c的取值范圍是（2，2016）．
故答案為：（2，2016）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與值域，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．