Question

4．已知數(shù)列{a_n}、{b_n}、{c_n}滿足（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n ）=c_n（n∈N⁺）．設(shè)c_n=2ⁿ+n，a_n=$\frac{1+（-1）^{n}}{2}$．當(dāng)b₁=1時．求數(shù)列{b_n}的通項公式．

Answer 1

分析 通過題意可知當(dāng)n是奇數(shù)時a_n=0、當(dāng)n是偶數(shù)時a_n=1，進而化簡可知當(dāng)n為奇數(shù)時b_n+1-b_n=n+2ⁿ、當(dāng)n是偶數(shù)時b_n+1-b_n=-n-2ⁿ，通過累加、分類討論即得結(jié)論．

解答 解：當(dāng)n是奇數(shù)時a_n=$\frac{1-1}{2}$=0，當(dāng)n是偶數(shù)時a_n=$\frac{1+1}{2}$=1，
依題意，當(dāng)n為奇數(shù)時n+1為偶數(shù)，
∴（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n ）=c_n（n∈N⁺），
即為：b_n+1-b_n=n+2ⁿ，
當(dāng)n是偶數(shù)時n+1是奇數(shù)，
∴（a_n+1-a_n）（b_n+1-b_n ）=c_n（n∈N⁺），
即為：b_n+1-b_n=-n-2ⁿ，
∴b₂-b₁=2¹+1，
b₃-b₂=-2²-2，
b₄-b₃=2³+3，
b₅-b₄=-2⁴-4，
…
b_n-b_n-1=（-1）ⁿ•（2^n-1+n-1），
綜上，①當(dāng)n是奇數(shù)時累加得，
b_n-b₁=（2¹-2²+2³+…+2^n-2-2^n-1）+[1-2+3-4+…-（n-1）]
∴b_n-1=2•$\frac{1-（-2）^{n-1}}{1-（-2）}$+$\frac{（-1）（n-1）}{2}$，
∵n-1是偶數(shù)，
∴b_n=-$\frac{{2}^{n}}{3}$-$\frac{n}{2}$+$\frac{13}{6}$；
②當(dāng)n是偶數(shù)時累加得：
b_n-b₁=（2¹-2²+2³+…+2^n-1）+[1-2+3-4+…+（n-1）]
∴b_n-1=2•$\frac{1-（-2）^{n-1}}{1-（-2）}$+$\frac{（-1）（n-2）}{2}$+n-1，
∵n-1是奇數(shù)，
∴b_n=$\frac{{2}^{n}}{3}$+$\frac{n}{2}$+$\frac{5}{3}$；
綜上所述，數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{{2}^{n}}{3}-\frac{n}{2}+\frac{13}{6}，}&{n為奇數(shù)}\\{\frac{{2}^{n}}{3}+\frac{n}{2}+\frac{5}{3}，}&{n為偶數(shù)}\end{array}\right.$．

點評 本題考查數(shù)列的通項，考查運算求解能力，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．