Question

7．已知函數(shù)f（x）=（1+$\sqrt{3}$tan2x）cos2x．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]上的最大值和最小值；
（3）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）由條件利用正切函數(shù)的定義域求得f（x）的定義域．
（2）利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得f（x）的最值．
（3）根據(jù)正弦函數(shù)的增區(qū)間，求得f（x）的增區(qū)間．

解答 解：（1）對于函數(shù)f（x）=（1+$\sqrt{3}$tan2x）cos2x，由2x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
求得 x≠$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，可得函數(shù)的定義域為{x|x≠$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{4}$，k∈Z}．
（2）∵（x）=（1+$\sqrt{3}$tan2x）cos2x=cos2x+$\sqrt{3}$sin2x=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），
又∵x∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{6}$]，∴2x+$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$]，
故當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=-$\frac{π}{6}$時，函數(shù)f（x）取得最小值為-1，當(dāng)2x+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時，函數(shù)f（x）取得最大值為2．
（3）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，
可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]，k∈Z．

點評 本題主要考查正切函數(shù)的定義域，三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域、單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．