Question

6．若變量x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}4x+3y≤12\\ x≥0\\ y≥0\end{array}$，則z=$\frac{y+3}{x+1}$的取值范圍是[$\frac{3}{4}$，7]．

Answer 1

分析 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用z的幾何意義結(jié)合直線的斜率公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，
z=$\frac{y+3}{x+1}$的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)到定點(diǎn)（-1，-3）的斜率，
由圖象知DA的斜率最大，DB的斜率最小，
∵A（0，4），B（3，0），
∴z的最大值為z=$\frac{4+3}{1}=7$，z的最小值為z=$\frac{0+3}{3+1}$=$\frac{3}{4}$，
即，z=$\frac{y+3}{x+1}$的取值范圍是[$\frac{3}{4}$，7]，
故答案為：[$\frac{3}{4}$，7]．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用直線斜率的幾何意義以及數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．