Question

1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，已知tanA=$\frac{sinC}{1-cosC}$，c=$\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求$\frac{a}$；
（Ⅱ）若三角形△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{6}$，求角C．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)商的關(guān)系、兩角和的正弦公式、內(nèi)角和定理化簡已知的式子，再由正弦定理化簡即可求出$\frac{a}$的值；（Ⅱ）根據(jù)題意和三角形的面積公式、余弦定理列出方程，化簡后利用輔助角公式化簡，由內(nèi)角的范圍、特殊角的正弦值求出角C的值．

解答 解：（Ⅰ）由題意知，tanA=$\frac{sinC}{1-cosC}$，
則$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{sinC}{1-cosC}$，即有sinA-sinAcosC=cosAsinC，
所以sinA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
由正弦定理，a=b，則$\frac{a}$=1；…（6分）
（Ⅱ）因為三角形△ABC的面積為$\frac{\sqrt{3}}{6}$，a=b、c=$\sqrt{2}$，
所以S=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$a²sinC=$\frac{\sqrt{3}}{6}$，則${a}^{2}sinC=\frac{\sqrt{3}}{3}$，①
由余弦定理得，$cosC=\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{{2a}^{2}-2}{2{a}^{2}}$，②
由①②得，cosC+$\sqrt{3}$sinC=1，則2sin（C+$\frac{π}{6}$）=1，sin（C+$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
又0＜C＜π，則$\frac{π}{6}＜$C+$\frac{π}{6}$＜$\frac{7π}{6}$，即C+$\frac{π}{6}$=$\frac{5π}{6}$，
解得C=$\frac{2π}{3}$    …（12分）．

點(diǎn)評 本題考查正弦定理，三角形的面積公式，以及商的關(guān)系、兩角和的正弦公式等，注意內(nèi)角的范圍，屬于中檔題．