Question

1．已知非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$滿足|$\overrightarrow{a}$|≥1，|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=3，則|$\overrightarrow{c}$|的最小值是1，最大值是3．

Answer 1

分析 設$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，由于|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，可得$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$．不妨設$\overrightarrow{a}$=（m，0）（m≥1）.$\overrightarrow$=（0，n）（n＞0）.$\overrightarrow{c}$=（x，y）．利用|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=3，可得m²+n²=4，$（x-\frac{m}{2}）^{2}$+$（y-\frac{n}{2}）^{2}$=4．即可得出|$\overrightarrow{c}$|的最值．

解答 解：設$\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow$，
∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，
∴$\overrightarrow{a}⊥\overrightarrow$．
不妨設$\overrightarrow{a}$=（m，0）（m≥1）．
$\overrightarrow$=（0，n）（n＞0）.$\overrightarrow{c}$=（x，y）．
∵|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=2，（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$）•（$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$）=3，
∴m²+n²=4，
x（x-m）+y（y-n）=3，即$（x-\frac{m}{2}）^{2}$+$（y-\frac{n}{2}）^{2}$=4．
∴|$\overrightarrow{c}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$∈[2-1，2+1]=[1，3]．
因此$|\overrightarrow{c}|$的最小值是1，最大值是3．
故答案分別為：1；3．

點評 本題考查了向量數(shù)量積運算及其性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．