Question

如右圖,已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長都等于a,點(diǎn)M,N分別是邊AB,CD的中點(diǎn).

(1)求證:MN為AB和CD的公垂線;

(2)求MN的長;

(3)求異面直線AN與MC所成角的余弦值.

Answer 1

解：設(shè)=p,=q，=r，

(1)證明：=（）-

=(q+r-p),

所以·=（q+r-p）·p=(q·p+r·p-p²)=(a²·cos60°+a²·cos60°-a²)=0.

所以MN⊥AB，同理可證MN⊥CD.

所以MN為AB與CD的公垂線.

(2)解:由(1)可知=(q+r-p),

所以||²=()²=(q+r-p)²=［q²+r²+p²+2(q·r-q·p-r·p)］=［a²+a²+a²+2(--)］=×2a²=.

所以||=a.

所以MN的長度為a.

(3)解:設(shè)向量與的夾角為θ,

因?yàn)?SUB>=()=(q+r),

=-=q-p,

所以·=(q+r)·(q-p)

=(q²-q·p+r·q-r·p)

=(a²-a²·cos60°+a²cos60°-a²·cos60°)

=(a²-+-)=.

又因?yàn)閨|=||=a,

所以·=||·||·cosθ

=a·a·cosθ=.

所以cosθ=.

所以向量與的夾角余弦值為.

從而異面直線AN,MC所成角的余弦值為.