Question

11．如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，點(diǎn)P為DD₁的中點(diǎn)．
（1）求異面直線A₁B和AC所成角的余弦值；
（2）求異面直線PC和A₁C₁所成的角．

Answer 1

分析 （1）由AC∥A₁C₁，得∠BA₁C₁是異面直線A₁B和AC所成角，由此利用余弦定理能求出異面直線A₁B和AC所成角的余弦值．
（2）由AC∥A₁C₁，得∠PAC是異面直線PC和A₁C₁所成的角，由此能求出異面直線PC和A₁C₁所成的角．

解答 解：（1）連結(jié)A₁B、A₁C₁、BC₁，
∵在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AD=1，AA₁=2，
∴AC∥A₁C₁，∴∠BA₁C₁是異面直線A₁B和AC所成角，
A₁B=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，${A}_{1}{C}_{1}=\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，BC₁=$\sqrt{{1}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴cos∠BA₁C₁=$\frac{{A}_{1}{B}^{2}+{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}-B{{C}_{1}}^{2}}{2{A}_{1}B•{A}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{5+2-5}{2×\sqrt{5}×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
∴異面直線A₁B和AC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{10}$．
（2）連結(jié)AP、AC，
∵AC∥A₁C₁，∴∠PAC是異面直線PC和A₁C₁所成的角，
由已知得AP=PC=AC$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴∠PAC=60°．
∴異面直線PC和A₁C₁所成的角為60°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意余弦定理的合理運(yùn)用．