Question

16．動圓M過定點（3，0），且與直線x=-3相切，設圓心M的軌跡為C．
（1）求C的方程；
（2）若過點P（6，0）的直線l與軌跡C交于A、B兩點，且$\overrightarrow{AP}$=2$\overrightarrow{PB}$，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意便知圓心M的軌跡為以（3，0）為焦點，x=-3為準線的拋物線，從而便可得出拋物線方程為y²=12x；
（2）由條件可知直線l的斜率不為0，從而設l的方程為x=ty+6，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），而根據(jù)$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$便可得到y(tǒng)₁=-2y₂．直線方程帶入拋物線方程消去x便可得y²-12ty-72=0，由韋達定理即可得到$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=12t}\\{{y}_{1}{y}_{2}=-72}\end{array}\right.$，這樣聯(lián)立y₁=-2y₂即可求出t的值，從而得出直線l的方程．

解答 解：（1）由題意得，M到點（3，0）的距離與到直線x=-3的距離都等于半徑；
由拋物線的定義可知，C的軌跡是拋物線，設其方程為y²=2px，則，$\frac{p}{2}=3$；
∴p=6；
∴M的軌跡方程為y²=12x；
（2）顯然斜率不為0，設直線l：x=ty+6，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）；
∵$\overrightarrow{AP}=2\overrightarrow{PB}$；
∴（6-x₁，-y₁）=2（x₂-6，y₂）；
∴y₁=-2y₂①；
由$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=12x}\\{x=ty+6}\end{array}\right.$得y²-12ty-72=0；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}+{y}_{2}=12t}\\{{y}_{1}{y}_{2}=-72}\end{array}\right.$，聯(lián)立①式解得$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=12}\\{{y}_{2}=-6}\\{t=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=-12}\\{{y}_{2}=6}\\{t=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
∴直線l的方程為y=2x-12，或y=-2x+12．

點評 考查直線和圓相切時，圓心到切線距離等于半徑，拋物線的定義，以及拋物線的標準方程，拋物線的焦點，過定點，且斜率不為0的直線方程的設法，向量數(shù)乘的坐標運算．