Question

1．已知4（x²+y²）=2xy+z（x，y≠0，z＞0），且當(dāng)|2x+y|取最大值時(shí)，（$\frac{3}{x}$-$\frac{4}{y}$+$\frac{5}{z}$）的最小值為-5．

Answer 1

分析 當(dāng)|2x+y|取最大值時(shí)得到x=2y，代入4（x²+y²）=2xy+z求出z=16y²，將（$\frac{3}{x}$-$\frac{4}{y}$+$\frac{5}{z}$）中的x，z換成y，得到關(guān)于y的二次函數(shù)，通過配方求出其最小值即可．

解答 解：若|2x+y|取最大值，即（2x+y）²取得最大值，
而（2x+y）²=4x²+4xy+y²=6xy-3y²+z=3y（2x-y）+z，
≤（3y）²+（2x-y）²+z，（z＞0），
∴當(dāng)且僅當(dāng)3y=2x-y時(shí)取“=”，此時(shí)：x=2y，
∴由4（x²+y²）=2xy+z得：z=16y²，
∴$\frac{3}{x}$-$\frac{4}{y}$+$\frac{5}{z}$=$\frac{3}{2y}$-$\frac{4}{y}$+$\frac{5}{1{6y}^{2}}$=5${（\frac{1}{4y}-1）}^{2}$-5≥-5，
故答案為：-5．

點(diǎn)評 本題考查基本不等式，由|2x+y|取最大值得到x=2y是關(guān)鍵，考查配方法求最值，屬于中檔題．