Question

4．⑧如圖，已知橢圓的中心在原點，焦點在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且經(jīng)過點M（4，1），直線l：y=x+m交橢圓與A，B兩不同的點．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線l不經(jīng)過點M，試問直線MA，MB與x軸能否圍成一個等腰三角形？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出橢圓的標準方程，根據(jù)橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$，得出a²=4b²，再根據(jù)M（4，1）在橢圓上，解方程組得b²=5，a²=20，從而得出橢圓的方程；
（2）因為直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B，可將直線方程與橢圓方程消去y得到關(guān)于x的方程，有兩個不相等的實數(shù)根，從而△＞0，解得-5＜m＜5；設(shè)出A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根與系數(shù)的關(guān)系再計算出直線MA的斜率k₁，MB的斜率為k₂，將式子k₁+k₂通分化簡，最后可得其分子為0，從而得出k₁+k₂=0，得直線MA，MB的傾斜角互補，命題得證．

解答 解：（1）設(shè)橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，
a²-c²=b²，
∴a²=4b²，
又∵M（4，1），
∴$\frac{16}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{^{2}}$=1，解得b²=5，a²=20，
故橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{5}$=1；
（2）將y=x+m代入x²+4y²=20，
并整理得5x²+8mx+4m²-20=0，
∵直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點A，B，
∴△=（8m）²-20（4m²-20）＞0，解得-5＜m＜5；
設(shè)直線MA，MB的斜率分別為k₁和k₂，只要證明k₁+k₂=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
利用根與系數(shù)的關(guān)系得：x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-20}{5}$．
k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-4}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-4}$=$\frac{（{y}_{1}-1）（{x}_{2}-4）+（{y}_{2}-1）（{x}_{1}-4）}{（{x}_{1}-4）（{x}_{2}-4）}$，
上式的分子=（x₁+m-1）（x₂-4）+（x₂+m-1）（x₁-4）
=2x₁x₂+（m-5）（x₁+x₂）-8（m-1）
=$\frac{2（4{m}^{2}-20）}{5}$-$\frac{8m（m-5）}{5}$-8（m-1）=0，
所以k₁+k₂=0，得直線MA，MB的傾斜角互補，
∴直線MA、MB與x軸圍成一個等腰三角形．

點評 本題考查了橢圓的方程和直線與橢圓的位置關(guān)系等知識點，解題時注意設(shè)而不求和轉(zhuǎn)化化歸等常用思想的運用，本題的綜合性較強對運算的要求很高．