Question

19．設F₁、F₂是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{4}$-y²=1的兩個焦點，點P在雙曲線上，且∠F₁PF₂=90°，則點P到x軸的距離為（　�。�

• A． 1
• B． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由題設條件，先利用雙曲線的基本性質求出△F₁PF₂的面積，再由三角形的面積公式能求出結果．

解答 解：設|PF₁|=x，|PF₂|=y，（x＞y）
∵a²=4，∴根據雙曲線性質可知x-y=4，
∵∠F₁PF₂=90°，c=$\sqrt{5}$，
∴x²+y²=20，
∴2xy=x²+y²-（x-y）²=4，
∴xy=2，
∴△F₁PF₂的面積為$\frac{1}{2}$xy=1，
設點P到x軸的距離為h，
則△F₁PF₂的面積為$\frac{1}{2}h•2c$=1，
∴h=$\frac{1}{c}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故選：B．

點評 本題考查雙曲線的定義，考查勾股定理，考查三角形面積的計算，解題的關鍵是確定|PF₁||PF₂|的值．