Question

（本小題12分）已知如圖，圓和拋物線，圓的切線與拋物線交于不同的點，.

（1）當直線的斜率為時，求線段的長；

（2）設點和點關于直線對稱，問是否存在圓的切線使得？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）存在，.

【解析】

試題分析：（1）圓的圓心坐標為，半徑，設，，設的方程，利用直線是圓的切線，求得的值，從而可得直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理，即可計算弦長；

（2）利用直線是圓的切線，可得，滿足的一個方程，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，利用，可得，滿足的另一個方程，聯(lián)立方程組可求得，的值，從而得到滿足題設的直線.

試題解析：∵圓：，∴圓心坐標為，半徑，（1）當直線的斜率為時，設的方程為，即，∵直線是圓的切線，∴，解得或（舍），此時直線的方程為，由，消去得，∴，設，，則，，得，∴弦長；

（2）∵直線是圓的切線，∴，得①，由，消去得，∴，即，且，，∵點和點關于直線對稱，∴點為，∴，，∵，∴，

即，即②，①+②，得，

解得或，當時，代入①解得，，滿足條件，當時，代入①得，無解，綜上所述，存在滿足條件的直線，其方程為.

考點：1.直線與拋物線的位置關系；2.弦長的計算；3.韋達定理的運用.

考點分析： 考點1：拋物線的標準方程 考點2：拋物線的幾何性質 試題屬性

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